Omissão do Domínio e do Contradomínio na Definição de uma Função

É provável que em muitos livros e em outros sites você tenha encontrado a definição de muitas funções, nas quais não foram feitas menções nem ao contradomínio, nem ao contradomínio das mesmas.
É que nestes casos se assume que o contradomínio seja o conjunto dos números reais, .
Mas qual será o domínio?
Isto depende da regra de associação em si, por isto vamos tomar como exemplo a seguinte função:

O contradomínio é:

O domínio é o próprio conjunto dos números reais, desconsiderando-se os elementos para os quais não seja um número real.
Como sabemos não existe um quociente real resultante da divisão por zero. Em outras palavras, se x = 0, isto é, se o domínio considerar o elemento 0, não existirá um elemento no contradomínio que possa ser associado a x, elemento este que deve pertencer a Im(f). Pela definição de função todo elemento do domínio deve possuir uma imagem.
Então devemos desconsiderar o número 0 e mais nenhum outro, pois a divisão de 1 por qualquer outro número real produz um quociente real.
O domínio desta função pode então ser definido por:

Ou ainda pelo conjunto dos números reais desconsiderando-se o zero:

Logo a definição desta função poderia ser:

No caso da função é muito fácil de se identificar que x não pode ser igual a 0, mas e no caso da função abaixo?

Bom, neste caso pelo mesmo motivo da função anterior o denominador da fração não pode ser igual a zero, além disto o radicando no denominador não pode ser negativo, pois não existe raiz quadrada real de número negativo, então concluímos que 5x - 5 deve ser maior que zero. Então temos:

Isolando x no primeiro membro:

Portanto x deve ser maior que 1, pois se x for igual 1 teremos uma divisão por zero e se x for menor que 1 teremos um radical negativo. Podemos então definir o domínio desta função por:

Desta forma podemos então definir assim esta função:

Não há como negar que é uma forma bem mais simples de se definir esta função, é por isto que os livros costumam fazer assim.