Exemplo 2
(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país
seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma
cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares?
Use 1,0320 = 1,80.
Temos a seguinte função exponencial
P(x) = P0 * (1 + i)t
P(x) = 500 * (1 + 0,03)20
P(x) = 500 * 1,0320
P(x) = 500 * 1,80
P(x) = 900
O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões.
Matemáticos do Amanhã
terça-feira, 10 de junho de 2014
segunda-feira, 9 de junho de 2014
Exemplo 1
(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:
v(10) = v0 * 2 –0,2*10
12 000 = v0 * 2 –2
12 000 = v0 * 1/4
12 000 : 1/ 4 = v0
v0 = 12 000 * 4
v0 = 48 000 A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.
(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:
v(10) = v0 * 2 –0,2*10
12 000 = v0 * 2 –2
12 000 = v0 * 1/4
12 000 : 1/ 4 = v0
v0 = 12 000 * 4
v0 = 48 000 A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.
Raiz quadrada de uma função quadrática
Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da
outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui
essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte
variável representada por x se encontra no expoente. Observe:
y = 2 x
y = 3 x + 4
y = 0,5 x
y = 4 x
A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:
f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 0 e a ≠ 1.
Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 0 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:
Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que
a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos
financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo
de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e
micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As
funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as
regras envolvendo potenciação.
y = 2 x
y = 3 x + 4
y = 0,5 x
y = 4 x
A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:
f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 0 e a ≠ 1.
Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 0 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:
domingo, 8 de junho de 2014
Definição
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
- f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
- f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
- f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
- f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
- f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
|
|
Observação:
Ao construir o
gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx +
c, notaremos
sempre que:
-
se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
-
se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
Zero e Equação do
2º Grau
Chama-se zeros ou
raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c ,
a 0,
os números reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função
f(x) = ax2 + bx + c são as
soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c =
0, as quais são
dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
|
Temos:
Observação
A quantidade de
raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o
radicando , chamado
discriminante, a saber:
-
quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
-
quando é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
-
quando é negativo, não há raiz real.
segunda-feira, 2 de junho de 2014
A
|
B
|
x
|
f(X)
|
1
|
2
|
2
|
3
|
3
|
4
|
4
|
5
|
5
|
6
|
Nessa situação, temos que:
Domínio: representado por todos os elementos do conjunto A.
(1, 2, 3, 4, 5)
Contradomínio: representado por todos os elementos do conjunto B.
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
Imagem: representada pelos elementos do contradomínio (conjunto B) que possuem correspondência com o domínio (conjunto A).
(2, 3, 4, 5, 6)
O conjunto domínio possui algumas características especiais que definem ou não uma função. Observe:
Todos os elementos do conjunto domínio devem possuir representação no conjunto do contradomínio. Caso isso não ocorra, a lei de formação não pode ser uma função.
sábado, 31 de maio de 2014
Exemplo 2
A função agora é definida por y = 2x + B. Temos que calcular o valor de B, sabendo que f(1) = 3.
Resolução:
Agora o exercício muda um pouco de figura. Ele dá uma imagem, no caso f(1)=3, e pede pra acharmos o termo "B" da lei de formação. Vamos ver... sabendo que y=f(x), então f(x) = 2x + B e f(1) = 2.(1) + B, e também f(1) = 3 então: 3 = 2.(1) + B agora aplicando as propriedades das operações, 3 = 2 + B 3 - 2 = B 1 = B Portanto, a lei de formação da função é y=2x+1 ou f(x)=2x+1. |
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